26 agosto 2018

Pothenot


Esta entrada va de topografía.

Se trata del problema de identificar las coordenadas del punto en el que estamos situados. Para ello debemos conocer las coordenadas de otros tres puntos que se observen desde nuestra posición, y medir los ángulos bajo los que se observan. Se conoce como trisección inversa o problema de Pothenot, aunque parece que antes que Pothonot, lo resolvió Snellius.
Se habla de un procedimiento gráfico y otro analítico, aunque se puede usar la geometría analítica para resolverlo a partir del procedimiento gráfico.

Para resolverlo lo mejor es hacer el problema trocitos e ir poco a poco.

SIMBOLOGÍA

Llamaremos a los puntos de coordenadas conocidas, A, B y C.
Al punto en el que estamos P
Al ángulo bajo el que se ven los puntos A y B, α o APB.
Al ángulo bajo el que se ven los puntos B y C, β o BPC.

PROCEDIMIENTO

Supongamos que tenemos dos puntos, A y B de coordenadas conocidas y y podemos medir el ángulo α con el que se ven desde nuestra posición. Con estos datos no es suficiente para determinar nuestra posición, P, y lo que obtenemos es una circunferencia que es el arco capaz.

Repitiendo esta operación con uno de estos dos puntos, B y el tercero, C, obtenemos otra circunferencia. La intersección de estas dos circunferencias nos da las coordenadas del punto común , B, las del punto buscado, P.

1 Obtenemos la coordenada ‘y’ del centro del arco capaz para A, B y α. Llamaremos a esta coordenada: O1y



2 Por un procedimiento simétrico se obtiene la coordenada x. Llamaremos a esta coordenada: O1x

3 Obtenemos la coordenada ‘y’ del centro del arco capaz para B, C y β. Llamaremos a esta coordenada: O2y

4 Obtenemos O2x

A partir de los centros de estas circunferencias y de las coordenadas de B seguimos aplicando métodos de geometría analítica para obtener las coordenadas de P.

5 Ecuación de la recta que une O1 con O2. La llamaremos recta r

6 Perpendicular a esta recta por B. La llamaremos recta s.

7 Intersección de las rectas r y s. A este punto lo llamaremos M.

8 M es el punto medio del segmento PB. Conocidos B y M, obtenomos P.

HOJA DE CÁLCULO.

Con los pasos apuntados he confeccionado una hoja de cálculo.
Los ángulos se introducen en grados centesimales que son los que se usan en topografía, es decir el ángulo recto tiene 100 grados centesimales, los grados tienen 100 minutos los minutos, 100 segundos.

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