En esta entrada se obtiene la ecuación del hiperboloide que se presenta en esta otra entrada del blog.
Obtenemos la ecuación más sencilla, que corresponde al hiperboloide que hay del aro de hierro más grande hacia arriba. Como eje Z se elige el eje del hiperboloide y como origen de coordenadas el que está a la altura de la parte más estrecha del hiperboloide.
La ecuación del hiperboloide en este caso viene dada por:
El valor de a viene dado por la mínima distancia entre la recta eje del hiperboloide y cualquiera de las generatrices del mismo. En el siguiente dibujo están acotados todas las distancia necesarias para realizar los cálculos y el resultado de los mismos.
La altura a la que está esa mínima distancia sería a la que se encuentra el origen de coordenadas, que desde la circunferencia, de referencia, la más grande, es de 4454 mm. De este modo quedan hasta la parte superior 2196 mm.
Con estos datos el siguiente punto pertenece al hiperboloide:
x= 2400; y= 0; z=2196
Introduciéndolo en la ecuación del hiperboloide, en la que ya conocemos a=b=1180 se obtiene c que es 1240.
Y la ecuación del hiperboloide queda:
CÁLCULOS MÁS DETALLADOS
 |
| Figura 1 |
En la figura 1 se representan la circunferencia superior, la más grande y el eje del hiperboloide en azul.
El triángulo naranja son los datos de que disponemos: Los lados más pequeños son los radios de las circunferencias, que además sabemos que forman un ángulo de 135º. El lado mayor sería la proyección horizontal de la generatriz del hiperboloide. En el siguiente dibujo se utilizan letras mayúsculas para los vértices del triángulo y las minúsculas correspondiente para el lado opuesto a cada vértice
En el triángulo amarillo el cateto horizontal sería d y el vertical la distancia entre las circunferencias, es decir 6650. Mediante semejanza de triángulos, una vez que hemos calculado g, obtenemos la altura a la que se encuentra el origen de coordenadas.
La altura a la que se encuentra el origen de coordenadas queda definida por el rectángulo verde de la figura 1, es su lado mayor. El lado menor es la distancia entre las recta eje y generatriz del hiperboloide, es decir a.
Valores calculados:
a=1180; d=6329; g=4239; Altura de origen de coordenadas =4454.
Todas las longitudes en mm
OBSERVACIONES
La hipotenusa del triángulo amarillo en la figura 1 define la inclinación de las asíntotas de la hipérbola que genera al hiperboloide por rotación al rededor de su eje. Para que esta hipérbola sea equilátera la inclinación de las asíntotas tiene que ser de 45º.
Cuando se diseñó el hiperboloide no se tenían estos conocimientos, pero casi se obtuvo una hipérbola equilátera, ya que el ángulo es de 46º.
Un hiperboloide similar al construido pero equilátero sería por ejemplo éste.
